箱型图介绍

箱型图（Box plot）是数据分析里面经常会使用的一种统计图，因形状如箱子而的名，有时也称为盒须图、盒式图、盒状图等。该图有以下的优势：

箱型图中表示的一个重要的点就是四分位数，所以先简单介绍一下四分位数。

1 四分位数

四分位数（Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。

第一四分位数（$Q_1$）：也称下四分位数（Lower Quartile），等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
第二四分位数（$Q_2$）：也称中位数（Middle Quartile or Median），等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
第三四分位数（$Q_3$）：也称上四分位数（Upper Quartile），等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

$Q_3$和$Q_1$的差距称为四分位距（InterQuartile Range， IQR）：

$$ {\Delta}Q = Q3-Q1 $$

计算分位数时先计算分位数的位置（以下公式中$n$表示样本总量）：

$$ Q_1的位置 = \frac{n+1}{4} $$

$$ Q_2的位置 = \frac{2(n+1)}{4} = \frac{n+1}{2} $$

$$ Q_3的位置 = \frac{3(n+1)}{4} $$

比如有一份样本数据如下（$n=11$）：

6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36

先由小到大排列：

6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49

$$ Q_1的位置 = \frac{n+1}{4} = \frac{11+1}{4} = 3 $$

$$ Q_2的位置 = \frac{2(n+1)}{4} = \frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6 $$

$$ Q_3的位置 = \frac{3(n+1)}{4} = \frac{3*(11+1)}{4} = 9 $$

所以：$Q_1 = 15, Q_2 = 40, Q_3 = 43, {\Delta}Q = Q_3 - Q_1 = 28$

注：如果位置计算出来不是整数（即$n+1$不是4的倍数），一般取该位置两边数的加权平均值（也有直接取平均值的），位置离得越近的数值权重越高，一般权重为：$1-小数位$。比如对于以下样本：

1，2，3，4

$Q_1的位置=\frac{5}{4}=1.25$，介于1和2之间，且离1近，

如果加权平均的话：$Q_1 = 1*(1-0.25) + 2*0.25 = 1.25$

如果直接取平均值的话：$Q_1=\frac{1+2}{2} = 1.5$

一个典型的箱型图样子如下图所示：

如标注所示，从下往上依次代表如下含义：

注意：

很多地方也把Lower Whisker位置说为最小值，Upper Whisker说为最大值，这样容易引起误解，因为它们并非数据集里面的最大值，而是去除所有离群值和极端值之后的最小值和最大值。它们定义和计算方式如下：
$$ Lower Whisker/最小值 = Q_1 - 1.5{\Delta}Q $$
$$ Upper Whisker/最大值 = Q_3 + 1.5{\Delta}Q $$
离群值和极端值有时统称为离群值或异常值（outlier）。

有很多方式可以绘制箱型图，比如Python的matplotlib库：

import matplotlib.pyplot as plt

data = (1, 20, 50, 55, 59, 64, 70, 73, 76, 80, 120, 250)
plt.boxplot(data)
plt.show()

图像如下：

得到数据的箱型图后，我们能从图上获取哪些信息呢？有一些通用的解读方法。比如下面的图中包含了四种不同形状和位置的箱型图：

假设上面的图的数据是学生们对于某件事情的意见，从图上我们可以得出以下一些结论：

箱型图比较短（指高度）说明数据整体比较集中，比如图(2)，可能就暗示大家的意见整体比较统一。
箱型图比较长说明数据范围比较大，比如图(1)和(3)，可能就暗示大家的意见非常不统一。
一个图的位置比别的图高或者低，比如图(3)比(4)位置高，这可能就暗示不同组之间的意见不同，比如可能男生的意见与女生的意见差异比较大。
图的形状差异比较大，这四个箱型图都不一样，而且有些差异还比较明显，这说明可能有多个不同组持有不同的意见，需要再去调查分析。
图中各个区域大小差异较大，比如图(1)，$Q_3$和$Q_2$的距离显然小于$Q_2$和$Q_1$，这说明在$Q_3$和$Q_2$的区域中，大家意见整体比较一致，而在$Q_2$和$Q_1$区域内大家意见差异比较大。另外，$Q_3$到Upper Whisker之间距离比较长，说明在这个区域内大家的意见大多数趋近于$Q_3$。
中值相同，分布不同。比如图(1)(2)(3)中值基本相同，但图形差异比较大，这说明他们对应的数据分布也不同。

上面最后一条提到了数据分布，一般查看数据分布我们更多的使用的是直方图(Histogram)或核密度估计图(kernel density estimate, KDE)，但其实箱型图也可以查看数据分布，只是不是非常的直观。比如下图是标准正态分布的概率密度函数图和箱型图：

References